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Grenzen der Mathematik

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Popis knihy

Vorwort,- 1 Historische Notizen.- 1.1 Wahrheit und Beweisbarkeit.- 1.2 Der Weg zur modernen Mathematik.- 1.2.1 Rätsel des Kontinuums.- 1.2.2 Auf den Spuren der Unendlichkeit.- 1.2.3 Macht der Symbole.- 1.2.4 Aufbruch in ein neues Jahrhundert§§1.2.5 Grundlagenkrise§§1.2.6 Axiomatische Mengenlehre§§1.2.7 Hilberts Programm und Gödels Beitrag§§1.2.8 Grenzen der Berechenbarkeit§§1.2.9 Auferstanden aus Ruinen§§1.3 Übungsaufgaben§§2 Formale Systeme§§2.1 Definition und Eigenschaften§§2.2 Entscheidungsverfahren§§2.3 Aussagenlogik§§2.3.1 Syntax und Semantik§§2.3.2 Aussagenlogischer Kalkül§§2.4 Prädikatenlogik erster Stufe§§2.4.1 Syntax und Semantik§§2.4.2 Prädikatenlogischer Kalkül§§2.5 Prädikatenlogik mit Gleichheit§§2.6 Prädikatenlogik höherer Stufe§§2.6.1 Syntax und Semantik§§2.6.2 Henkin-Interpretation§§2.7 Übungsaufgaben§§3 Fundamente der Mathematik§§3.1 Peano-Arithmetik§§3.1.1 Syntax§§3.1.2 Semantik§§3.1.3 Axiome und Schlussregeln§§3.2 Axiomatische Mengenlehre§§3.2.1 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre§§3.2.1.1 ZF-Axiome§§3.2.1.2 Das Auswahlaxiom§§3.2.1.3 Mengenlehre als Fundament der Mathematik§§3.2.1.4 Einbettung der natürlichen Zahlen§§3.2.2 Ordinalzahlen§§3.2.2.1 Definition und Eigenschaften§§3.2.2.2 Der Unendlichkeit entgegen§§3.2.2.3 Ordnungstypen und Wohlordnungen§§3.2.2.4 Transfinite Induktion§§3.2.3 Kardinalzahlen§§3.3 Übungsaufgaben§§4 Beweistheorie §§4.1 Gödel'sche Unvollständigkeitssätze§§4.2 Der erste Unvollständigkeitssatz§§4.2.1 Arithmetisierung der Syntax§§4.2.2 Primitiv-rekursive Funktionen§§4.2.3 Arithmetische Repräsentierbarkeit§§4.2.4 Gödels Diagonalargument§§4.2.5 Rossers Beitrag§§4.3 Der zweite Unvollständigkeitssatz§§4.4 Gödels Sätze richtig verstehen§§4.5 Satz von Goodstein§§4.6 Übungsaufgaben§§5 Berechenbarkeitstheorie §§5.1 Berechnungsmodelle§§5.1.1 Turing-Maschinen§§5.1.1.1 Erweiterungen des Basismodells§§5.1.1.2 Alternative Beschreibungsformen§§5.1.1.3 Universelle Turing-Maschine§§5.1.2 Registermaschinen§§5.2 Church'sche These§§5.3 Grenzen der Berechenbarkeit§§5.3.1 Halteproblem§§5.3.2 Satz von Rice§§5.4 Folgen für die Mathematik§§5.4.1 Unentscheidbarkeit der PL1§§5.4.2 Unvollständigkeit der Arithmetik§§5.4.3 Hilberts zehntes Problem§§5.4.3.1 Diophantische Repräsentierbarkeit§§5.4.3.2 Codierung von Registermaschinen§§5.5 Übungsaufgaben§§6 Algorithmische Informationstheorie §§6.1 Algorithmische Komplexität§§6.2 Die Chaitin'sche Konstante§§6.3 Unvollständigkeit formaler Systeme§§6.4 Übungsaufgaben§§7 Modelltheorie §§7.1 Meta-Resultate zur Prädikatenlogik§§7.1.1 Modellexistenzsatz§§7.1.2 Kompaktheitssatz§§7.1.3 Satz von Löwenheim-Skolem§§7.2 Nichtstandardmodelle von PA§§7.2.1 Abzählbare Nichtstandardmodelle§§7.2.2 Überabzählbare Nichtstandardmodelle§§7.3 Skolem-Paradoxon§§7.4 Boole'sche Modelle§§7.4.1 Definition und Eigenschaften§§7.4.2 Ein einfacher Unabhängigkeitsbeweis§§7.5 Übungsaufgaben§§Literaturverzeichnis§§Namensverzeichnis§Sachwortverzeichnis