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Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie

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Popis knihy

Vorwort.- Einleitung.- I Distributionen und Differentialoperatoren.- 1 Frécheträume.- 1.1 Konvergenzbegriffe und Funktionenräume.- 1.2 Halbnormen und lokalkonvexe Topologien.- 1.3 Stetige lineare Abbildungen und Isomorphien.- 1.4 Prinzipien der Funktionalanalysis.- 1.5 Aufgaben.- 2 Distributionen.- 2.1 Testfunktionen.- 2.2 Schwache Ableitungen und Distributionen.- 2.3 Träger von Distributionen.- 2.4 Tensorprodukte von Distributionen.- 2.5 Faltung von Distributionen.- 2.6 Aufgaben.- 3 Fourier-Transformation.- 3.1 Schnell fallende Funktionen.- 3.2 Hermite-Funktionen.- 3.3 Temperierte Distributionen.- 3.4 Holomorphe Fourier-Transformierte.- 3.5 Aufgaben.- 4 Sobolev-Räume.- 4.1 Approximationssätze.- 4.2 Sobolev-Hilberträume.- 4.3 Einbettungssätze.- 4.4 Fortsetzungsoperatoren.- 4.5 Spuroperatoren.- 4.6 Aufgaben.- 5 Differentialoperatoren.- 5.1 Die Wärmeleitungsgleichung auf R n .- 5.2 Beispiele von Fundamentallösungen.- 5.3 Der Satz von Malgrange-Ehrenpreis.- 5.4 Elliptische und hypoelliptische Differentialoperatoren.- 5.5 Aufgaben.- II Lokalkonvexe Räume und lineare Operatoren.- 6 Topologische Vektorräume.- 6.1 Lineare Topologien.- 6.2 Lokalbeschränkte Räume und Quasi-Normen.- 6.3 Aufgaben.- 7 Lokalkonvexe Räume.- 7.1 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.- 7.2 Projektive Topologien.- 7.3 Induktive lokalkonvexe Topologien.- 7.4 ( LF )-Räume.- 7.5 Gewebe und der Satz vom abgeschlossenen Graphen.- 7.6 Aufgaben.- 8 Dualität.- 8.1 Polare lokalkonvexe Topologien.- 8.2 Reflexive Räume.- 8.3 ( DF )-Räume.- 8.4 Exakte Sequenzen.- 8.5 Kompakte konvexe Mengen.- 8.6 Aufgaben.- 9 Lösung linearer Gleichungen.- 9.1 Abgeschlossene Operatoren und duale Operatoren.- 9.2 Surjektive und normal auflösbare Operatoren.- 9.3 Globale Lösbarkeit linearer Differentialgleichungen.- 9.4 Stetige lineare Lösungsoperatoren und Projektionen.- 9.5 Fortsetzung und Lifting linearer Operatoren.- 9.6 Stetige Lösungsoperatoren.- 9.7 Aufgaben.- 10 Vektorfunktionen und Tensorprodukte.- 10.1 Funktionenräume und -Produkte.- 10.2 -Produkte linearer Operatoren.- 10.3 Holomorphe Vektorfunktionen.- 10.4 -Tensorprodukte und Approximationseigenschaft.- 10.5 -Tensorprodukte und Bochner-Integrale.- 10.6 Aufgaben.- 11 Operatorideale und nukleare Räume.- 11.1 Approximationszahlen und Integraloperatoren.- 11.2 Nukleare Operatoren.- 11.3 Spuren.- 11.4 Nukleare Räume.- 11.5 Schnell fallende Folgen.- 11.6 Aufgaben.- 12 Exakte Sequenzen und Tensorprodukte.- 12.1 L -Räume und Lifting-Sätze.- 12.2 -Sequenzen.- 12.3 Holomorphe Funktionen mit Randbedingungen.- 12.4 Die Eigenschaften ( DN ) und ( ).- 12.5 Ein Splitting-Satz.- 12.6 Unterräume und Quotientenräume von s .- 12.7 Aufgaben.- III Spektraltheorie linearer Operatoren.- 13 Banachalgebren.- 13.1 Grundlagen.- 13.2 Der analytische Funktionalkalkül.- 13.3 Gelfand-Theorie.- 13.4 Uniforme Algebren und gemeinsame Spektren.- 13.5 Einseitige Ideale und Operatorfunktionen.- 13.6 Aufgaben.- 14 Fredholmoperatoren und kompakte Operatoren.- 14.1 Semi-Fredholmoperatoren und Störungssätze.- 14.2 Singuläre Integraloperatoren.- 14.3 Inversion holomorpher Fredholm-Funktionen.- 14.4 Spektralprojektionen.- 14.5 Die Weylsche Ungleichung.- 14.6 Invariante Unterräume.- 14.7 Aufgaben.- 15 C -Algebren und normale Operatoren.- 15.1 C -Algebren.- 15.2 Der stetige Funktionalkalkül.- 15.3 -Darstellungen und beschränkter Borel-Funktionalkalkül.- 15.4 Spektralmaße und -integrale.- 15.5 Spektraltheorie normaler Operatoren.- 15.6 Aufgaben.- 16 Selbstadjungierte Operatoren.- 16.1 Spektralsatz und unbeschränkter Borel-Funktionalkalkül.- 16.2 Spektren selbstadjungierter Operatoren.- 16.3 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik.- 16.4 Erweiterung symmetrischer Operatoren.- 16.5 Halbbeschränkte Operatoren.- 16.6 Störungen selbstadjungierter Operatoren.- 16.7 Aufgaben.